El proyecto Erat\u00f3stenes consiste en recrear la medici\u00f3n de la circunferencia de la Tierra que realiz\u00f3 este matem\u00e1tico, astr\u00f3nomo y ge\u00f3grafo griego en el siglo III a. C. El objetivo de este proyecto es que estudiantes de la escuela secundaria determinen el per\u00edmetro de la circunferencia terrestre con los mismos elementos que usara Erat\u00f3stenes, sin calculadora, sin GPS, sin sat\u00e9lites, sin computadora, solo con una varilla, midiendo pasos y, sobre todo, con much\u00edsimo ingenio y de paso aprender algo de historia, astronom\u00eda, geograf\u00eda y matem\u00e1tica.<\/p>\n
<\/p>\n
Un poco de historia<\/strong><\/p>\n Erat\u00f3stenes naci\u00f3 en el a\u00f1o 276 a. C. en Cirene (actualmente Shahhat, Libia) en el norte de \u00c1frica fue uno de los hombres m\u00e1s cultivados de su \u00e9poca y el primero en llamarse a si mismo \u00abphilologos\u00bb, amigo del saber. Erast\u00f3stenes lleg\u00f3 a ser un estudioso de alto grado y pose\u00eda una gran variedad de conocimientos: fue astr\u00f3nomo, poeta, ge\u00f3grafo, fil\u00f3sofo, cr\u00edtico teatral y matem\u00e1tico, fue llamado \u00abpentathlos\u00bb, nombre reservado al atleta vencedor en las cinco luchas de los Juegos Ol\u00edmpicos. Cerca de 240 a.C., Erast\u00f3stenes se convirti\u00f3 en el tercer bibliotecario de Alejandr\u00eda, en la biblioteca del templo de las musas llamado el Musei\u00f3n (origen la palabra museo), donde se albergaban cientos de miles de papiros y rollos de vitela sin descifrar y este puesto lo ocup\u00f3 hasta el fin de sus d\u00edas.<\/p>\n Su trabajo sobre la medici\u00f3n de la circunferencia de la Tierra fue sin dudas una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronom\u00eda y por el cual es m\u00e1s recordado. El mismo trabajo se encontraba en su tratado \u00abSobre las medidas de la Tierra\u00bb, perdido hoy en d\u00eda, pero sin embargo, podemos reconstruir el mismo con detalles ya que sus c\u00e1lculos aparecen en otros autores. Durante sus estudios e investigaciones en la Biblioteca de Alejandr\u00eda, Erast\u00f3stenes encontr\u00f3 un papiro en el que se mencionaba que en Sienna, actualmente Asu\u00e1n en Egipto, el d\u00eda del solsticio de verano la luz del Sol alumbraba el fondo de los pozos de agua, de modo que ese d\u00eda los objetos no proyectaban sombra alguna (figura 1). Esto era debido a que la ciudad de Sienna estaba situada sobre la l\u00ednea del tr\u00f3pico de C\u00e1ncer (figura 2).<\/p>\n figuras 1 y 2<\/em><\/p>\n Partiendo de las suposiciones que Alejandr\u00eda y Sienna estaban situados sobre el mismo meridiano, aunque hoy sabemos que est\u00e1n desplazados solo 3\u00ba, y que el Sol estaba tan alejado de la Tierra que los rayos que llegaban a ambas ciudades pod\u00edan considerarse paralelos, midi\u00f3 el \u00e1ngulo de las sombras proyectadas en el d\u00eda del solsticio de verano en Alejandr\u00eda encontrando un valor de 7,2\u00ba. Este \u00e1ngulo equivale a la diferencia de latitud entre Sienna y Alejandr\u00eda, como podemos ver por la sencilla regla de equivalencia de \u00e1ngulos alternos internos entre paralelas (figura 3).<\/p>\n figura 3<\/em><\/p>\n De esta manera, midiendo la distancia entre ambas ciudades, A-S, y por una sencilla regla de tres simple se puede decir que:<\/p>\n 360\u00ba es a -> 7,2\u00ba<\/strong><\/p>\n como<\/p>\n P es a -> distancia (A-S)<\/strong><\/p>\n donde la inc\u00f3gnita es P = per\u00edmetro terrestre, de lo que se deduce que<\/p>\n P = 360\u00ba x dist(A-S) \/ 7,2\u00ba<\/strong><\/p>\n esto traducido en palabras significa que la relaci\u00f3n entre el \u00e1ngulo que separa a Sienna de Alejandr\u00eda y los 360\u00ba de la circunferencia terrestre es igual a la relaci\u00f3n que hay entre la distancia que separa a Sienna de Alejandr\u00eda y la longitud de un meridiano.<\/p>\n Para el c\u00e1lculo del \u00e1ngulo, Erast\u00f3stenes se sirvi\u00f3 del scaphium o gnomon, un tipo de cuadrante solar rudimentario y la distancia A-S la estim\u00f3 a partir de datos de las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades. Aunque en este punto surgen diferentes versiones, como que encarg\u00f3 a un agrimensor de su \u00e9poca que midiera en pasos uniformes dicha distancia o que la medici\u00f3n la realiz\u00f3 mediante el conteo de pasos efectuado por un regimiento que recorri\u00f3 dicha distancia, tambi\u00e9n cabe la posibilidad que halla obtenido el valor de otros autores en la propia Biblioteca de Alejandr\u00eda. La distancia fijada fue de 5000 estadios por lo que remplazando en la ecuaci\u00f3n superior se obtiene<\/p>\n P = 250.000 estadios<\/strong><\/p>\n Un elemento importante en esta historia es a qu\u00e9 unidad se refer\u00eda Erast\u00f3tenes con el \u201cestadio\u201d, dado que exist\u00edan varios valores de esta unidad seg\u00fan sea el origen, como era habitual en la antig\u00fcedad. Si us\u00f3 el estadio de 185 m, el valor del di\u00e1metro terrestre seria de 46.250Km, si us\u00f3 el estadio egipcio de 157.2 m (equivalente a 300 codos de 52,4 cm), el per\u00edmetro polar calculado seria 39.300Km. Hoy sabemos que el per\u00edmetro polar es de 39.939 Km, con lo que en el primero de los casos tendr\u00edamos un error de 15,8% y en el segundo un error menor al 2%.<\/p>\n <\/p>\n La reconstrucci\u00f3n de la experiencia<\/strong><\/p>\n Este proyecto est\u00e1 coordinado por el Departamento de F\u00edsica de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires y se encuadra dentro de las actividades por el A\u00f1o Internacional de la Astronom\u00eda en 2009. La organizaci\u00f3n se encarga de armar \u00abparejas\u00bb con los colegios anotados para que hagan las mediciones en conjunto y as\u00ed puedan obtener el resultado buscado; en el caso del Colegio San Jos\u00e9, la instituci\u00f3n con la cual compartimos la medici\u00f3n es el Colegio Jos\u00e9 Mart\u00ed de Ushuaia, Tierra del Fuego.<\/p>\n Al igual que en el caso de Alejandr\u00eda y Sienna, se busca que las parejas de colegios est\u00e9n ubicados en meridianos similares para que el experimento sea lo m\u00e1s exitoso posible. En este aspecto hay que hacer algunas aclaraciones:<\/p>\n 1) La ciudad de Sienna se encuentra sobre el tr\u00f3pico de C\u00e1ncer en el hemisferio norte y una varilla no proyecta sombra el d\u00eda del solsticio del 21 de junio.<\/em><\/p>\n 2) La situaci\u00f3n equivalente en el hemisferio sur se producir\u00e1 sobre el tr\u00f3pico de Capricornio pero en el solsticio del 21 de diciembre.<\/em><\/p>\n El tr\u00f3pico de Capricornio pasa por las provincias de Jujuy, Salta y Formosa. A pesar de esto, la experiencia se puede llevar a cabo igualmente y determinar la circunferencia de la Tierra con mediciones que no est\u00e9n hechas sobre los tr\u00f3picos (figura 4 y 5). Los participantes conjuntamente deber\u00e1n determinar el \u00e1ngulo b en el momento en que el Sol pase por el meridiano del lugar, con este dato y con la distancia norte-sur (Dbu) que separa a Buenos Aires y Ushuaia se puede estimar la circunferencia terrestre (figura 6).<\/p>\n figuras 4, 5 y 6<\/em><\/p>\n La medici\u00f3n de los \u00e1ngulos a1 y a2(figura 6), como hemos dicho, se deben hacer en el momento en que el Sol pase por el meridiano del lugar y eso sucede cuando las sombras proyectadas por los objetos tienen su longitud m\u00e1s corta. Para esto se clava una varilla en forma perpendicular sobre una superficie plana sobre la cual posteriormente se proyectar\u00e1 su sombra y se registran los tiempos y las longitudes a intervalos preestablecidos de entre 1 y 5 minutos comenzando aproximadamente a las 12:30. A medida que transcurre el d\u00eda el Sol se va elevando en el cielo y desde el hemisferio sur vemos que \u00e9ste se ubica hacia el norte por lo tanto las sombras que proyecten apuntar\u00e1n hacia el sur. Cuando el Sol llegue a su punto m\u00e1s alto, las sombras proyectadas ser\u00e1n las m\u00e1s cortas y all\u00ed quedar\u00e1 determinado el momento en que el Sol est\u00e1 sobre el meridiano del lugar. Esta medida de la sombra es la que nos permitir\u00e1 realizar los c\u00e1lculos (figura 7 y 8)<\/p>\n figura 7 y 8<\/em><\/p>\n En las figuras 7 y 8 anteriores se observa que en la posici\u00f3n 4 el Sol pasa por el meridiano del lugar por lo tanto con la longitud de la sombra en este instante Ls y la longitud de la varilla Lv es posible determinar a1 ya sea por trigonometr\u00eda o trasladando las medidas a un papel y midiendo el \u00e1ngulo a1 con un transportador. En forma id\u00e9ntica, el otro colegio determinar\u00e1 a2.<\/p>\n <\/p>\n [\/et_pb_text][et_pb_gallery gallery_ids=\u00bb2214,2236,2235,2234,2233,2241″ _builder_version=\u00bb4.14.7″ _module_preset=\u00bbdefault\u00bb title_font_size=\u00bb14px\u00bb global_colors_info=\u00bb{}\u00bb][\/et_pb_gallery][et_pb_text _builder_version=\u00bb4.14.7″ text_font=\u00bbNunito||||\u00bb text_font_size=\u00bb16px\u00bb text_line_height=\u00bb1.8em\u00bb header_font=\u00bbOswald|||on|\u00bb header_font_size=\u00bb16px\u00bb header_letter_spacing=\u00bb2px\u00bb header_line_height=\u00bb1.7em\u00bb header_4_font=\u00bbOswald|||on|||||\u00bb header_4_font_size=\u00bb16px\u00bb header_4_letter_spacing=\u00bb1px\u00bb header_4_line_height=\u00bb1.5em\u00bb background_size=\u00bbinitial\u00bb background_position=\u00bbtop_left\u00bb background_repeat=\u00bbrepeat\u00bb max_width=\u00bb90%\u00bb max_width_tablet=\u00bb\u00bb max_width_phone=\u00bb\u00bb max_width_last_edited=\u00bbon|phone\u00bb module_alignment=\u00bbcenter\u00bb custom_margin=\u00bb|||\u00bb global_colors_info=\u00bb{}\u00bb]<\/p>\n En el Colegio San Jos\u00e9 se hicieron las mediciones el s\u00e1bado 21 de junio entre las 12:45 y las 13:10, por suerte muy cerca del mediod\u00eda el cielo se despej\u00f3 y se pudo realizar la experiencia. El valor obtenido de a1 fue de aproximadamente 57\u00ba, previamente en el Observatorio San Jos\u00e9 hab\u00edamos verificado algunos datos a trav\u00e9s del software Starrynight como el paso del Sol por el meridiano que ser\u00eda a las 12:55 hora local y que estar\u00eda a 33\u00ba 13\u00b4 sobre el horizonte. Esta informaci\u00f3n no hab\u00eda sido suministrada a los alumnos participantes pero sirvi\u00f3 para corroborar el trabajo realizado por ellos. Las sombras m\u00e1s cortas fueron detectadas entre las 12:54 y 12:59 y si tenemos en cuenta que los \u00e1ngulos interiores de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo deben sumar 180\u00ba entonces para el caso de la figura 8 tenemos que:<\/p>\n a1 + \u00e1ngulo del Sol sobre el horizonte + 90\u00ba = 180\u00ba<\/strong><\/p>\n 57\u00ba + 33\u00ba 13\u00b4 + 90\u00ba \u00bb 180\u00ba<\/strong><\/p>\n vemos que los resultados son bastante buenos teniendo en cuenta los errores que se producen por la forma en que se hicieron las mediciones.<\/p>\n <\/p>\n Los c\u00e1lculos<\/strong><\/p>\n Los datos aportados por cada colegio son los siguientes:<\/p>\n Colegio San Jos\u00e9<\/span><\/p>\n Latitud:34\u00ba 36′<\/p>\n Longitud: 58\u00ba 24\u00b4<\/p>\n Distancia al ecuador: 3.847,23 km<\/p>\n Distancia al meridiano de Greenwich: 5.345,18 km<\/p>\n Longitud (Lv) del gnomon o varilla (cm): 23.700 \u00b1 2.000<\/p>\n Longitud (Ls) de la sombra m\u00ednima (cm):36.400 \u00b1 2.000<\/p>\n Hora de la medici\u00f3n (HH:mm): 12:54<\/p>\n Angulo a1: 56.93\u00ba<\/p>\n Colegio Jos\u00e9 Mart\u00ed<\/span><\/p>\n Latitud:54\u00ba 48′<\/p>\n Longitud: 68\u00ba 18\u00b4<\/p>\n Distancia al ecuador: 6.093,3 km<\/p>\n Distancia al meridiano de Greenwich: 4.377,83 km<\/p>\n Longitud (Lv) del gnomon o varilla (cm): 22.000 \u00b1 0.000<\/p>\n Longitud (Ls) de la sombra m\u00ednima (cm):111.500 \u00b1 0.000<\/p>\n Hora de la medici\u00f3n (HH:mm): 13:30<\/p>\n Angulo a2: 78.83\u00ba<\/p>\n Distancia Buenos Aires – Ushuaia (Dbu) = 6.093,3 km – 3.847,23 km = 2.246,07 km<\/p>\n b = a2 – a1 = 21.898\u00ba<\/p>\n Seg\u00fan la figura 6, de las mediciones de los \u00e1ngulos a2 y a1 se deber\u00eda obtener que la diferencia entre ambos corresponde a la diferencia de latitud entre ambas ciudades como se ve en el resultado teniendo en cuenta los errores propios de los m\u00e9todos de medici\u00f3n utilizados.<\/p>\n Con esta informaci\u00f3n podemos calcular el per\u00edmetro terrestre con las f\u00f3rmulas vistas anteriormente:<\/p>\n Per\u00edmetro calculado = 360\u00ba x Dbu \/ b<\/p>\n Per\u00edmetro calculado = 360\u00ba x 2.246,07 km \/ 21.898\u00ba<\/p>\n Per\u00edmetro calculado = 36.925,07 km<\/p>\n Radio terrestre calculado = 36.925,07 km \/ p = 5.876,81 km<\/p>\n Dado que los valores reales son:<\/p>\n Per\u00edmetro polar real = 39.939 km<\/p>\n Radio polar real = 6356 km<\/p>\n El error es de un 8.1%<\/p>\n Estos valores fueron obtenidos con una sola medici\u00f3n por colegio; si en cambio, para cada colegio hacemos el promedio de los valores obtenidos por cada grupo de alumnos, los n\u00fameros quedar\u00edan de la siguiente manera:<\/p>\n Angulo a1: 57.036\u00ba<\/p>\n Angulo a2: 78.71\u00ba<\/p>\n b = a2 – a1 = 21.674\u00ba<\/p>\n Per\u00edmetro calculado = 360\u00ba x 2.246,07 km \/ 21.674\u00ba<\/p>\n Per\u00edmetro calculado = 37.306,69 km<\/p>\n Radio terrestre calculado = 37.306,69 km \/ p = 5.937,55 km<\/p>\n El error es de un 7.04%<\/p>\n Consideraciones sobre los c\u00e1lculos y los m\u00e9todos empleados<\/p>\n Una primera aclaraci\u00f3n que hay que hacer es que al calcular la circunferencia terrestre de la forma en que se hizo, estamos suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta pero la realidad es que existe un achatamiento polar y que no lo estamos teniendo en cuenta. L\u00f3gicamente, Erat\u00f3stenes no pod\u00eda conocer este detalle en el siglo III a. C.<\/p>\n Sin embargo, este aspecto no es el \u00fanico al evaluar los errores sino tambi\u00e9n hay que considerar aquellos que se introducen al medir la sombra:<\/p>\n 1) Las reglas, cintas m\u00e9tricas y escuadras tienen un error de lectura de \u00b1 1 mm.<\/p>\n 2) En el extremo de la sombra se crea una zona de penumbra siendo dif\u00edcil determinar donde termina y poder medir su longitud con precisi\u00f3n. Esto es debido a que el Sol no es un objeto puntual (figura 9)<\/p>\n 3) Al principio se pens\u00f3 en medir cada minuto pero se comprob\u00f3 que la sombra no se desplazaba mucho en ese lapso y las mediciones quedaban muy encimadas. Es preferible empezar con tiempo y medir cada 5 minutos y elegir una varilla bastante delgada.<\/p>\n 4) En el caso de las ciudades que est\u00e1n en latitudes muy elevadas la sombra se hace muy larga y el fen\u00f3meno descrito en 2) se acent\u00faa.<\/p>\n figura 9<\/em><\/p>\n <\/strong><\/p>\n Conclusiones<\/strong><\/p>\n El Proyecto Erat\u00f3stenes resulta ser una excelente experiencia que nos muestra que con elementos tan simples como papel, l\u00e1piz, transportador, escuadra y con un d\u00eda despejado, podemos ser capaces de medir las dimensiones del planeta donde vivimos con un error m\u00e1s que aceptable. Solo hay un aspecto que no hemos reproducido del trabajo de Erat\u00f3stenes: no hemos enviado a nadie caminando hasta Ushuaia para medir la distancia!! Salvo este detalle, podemos decir que no hace falta contar con toda la tecnolog\u00eda de la cual podemos disfrutar en el siglo XXI, como las computadoras, los sat\u00e9lites, el laser, etc, para obtener una idea muy pero muy aproximada del tama\u00f1o del mundo, solo hace falta usar nuestro cerebro.<\/p>\n <\/p>\n El Observatorio San Jos\u00e9 agradece a los chicos que se interesaron en participar de esta experiencia:<\/p>\n Federico Binquiman<\/strong><\/em><\/p>\n Jer\u00f3nimo Collado<\/strong><\/em><\/p>\n Fernando Georgetti<\/strong><\/em><\/p>\n Florencia Greene<\/strong><\/em><\/p>\n Mar\u00eda Elena Seelen<\/strong><\/em><\/p>\n Constanza Su\u00e1rez<\/strong><\/em><\/p>\n a todos ellos FELICITACIONES.<\/p>\n [\/et_pb_text][\/et_pb_column][\/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=\u00bb4.14.7″ _module_preset=\u00bbdefault\u00bb global_colors_info=\u00bb{}\u00bb][et_pb_column type=\u00bb4_4″ _builder_version=\u00bb4.14.7″ _module_preset=\u00bbdefault\u00bb 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