Introducción

El proyecto Eratóstenes consiste en recrear la medición de la circunferencia de la Tierra que realizó este matemático, astrónomo y geógrafo griego en el siglo III a. C. El objetivo de este proyecto es que estudiantes de la escuela secundaria determinen el perímetro de la circunferencia terrestre con los mismos elementos que usara Eratóstenes, sin calculadora, sin GPS, sin satélites, sin computadora, solo con una varilla, midiendo pasos y, sobre todo, con muchísimo ingenio y de paso aprender algo de historia, astronomía, geografía y matemática.

Un poco de historia

Eratóstenes nació en el año 276 a. C. en Cirene (actualmente Shahhat, Libia) en el norte de África fue uno de los hombres más cultivados de su época y el primero en llamarse a si mismo «philologos», amigo del saber. Erastóstenes llegó a ser un estudioso de alto grado y poseía una gran variedad de conocimientos: fue astrónomo, poeta, geógrafo, filósofo, crítico teatral y matemático, fue llamado «pentathlos», nombre reservado al atleta vencedor en las cinco luchas de los Juegos Olímpicos. Cerca de 240 a.C., Erastóstenes se convirtió en el tercer bibliotecario de Alejandría, en la biblioteca del templo de las musas llamado el Museión (origen la palabra museo), donde se albergaban cientos de miles de papiros y rollos de vitela sin descifrar y este puesto lo ocupó hasta el fin de sus días.

Su trabajo sobre la medición de la circunferencia de la Tierra fue sin dudas una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía y por el cual es más recordado. El mismo trabajo se encontraba en su tratado «Sobre las medidas de la Tierra», perdido hoy en día, pero sin embargo, podemos reconstruir el mismo con detalles ya que sus cálculos aparecen en otros autores. Durante sus estudios e investigaciones en la Biblioteca de Alejandría, Erastóstenes encontró un papiro en el que se mencionaba que en Sienna, actualmente Asuán en Egipto, el día del solsticio de verano la luz del Sol alumbraba el fondo de los pozos de agua, de modo que ese día los objetos no proyectaban sombra alguna (figura 1). Esto era debido a que la ciudad de Sienna estaba situada sobre la línea del trópico de Cáncer (figura 2).

figuras 1 y 2

Partiendo de las suposiciones que Alejandría y Sienna estaban situados sobre el mismo meridiano, aunque hoy sabemos que están desplazados solo 3º, y que el Sol estaba tan alejado de la Tierra que los rayos que llegaban a ambas ciudades podían considerarse paralelos, midió el ángulo de las sombras proyectadas en el día del solsticio de verano en Alejandría encontrando un valor de 7,2º. Este ángulo equivale a la diferencia de latitud entre Sienna y Alejandría, como podemos ver por la sencilla regla de equivalencia de ángulos alternos internos entre paralelas (figura 3).

figura 3

De esta manera, midiendo la distancia entre ambas ciudades, A-S, y por una sencilla regla de tres simple se puede decir que:

360º es a -> 7,2º

como

P es a -> distancia (A-S)

donde la incógnita es P = perímetro terrestre, de lo que se deduce que

P = 360º x dist(A-S) / 7,2º

esto traducido en palabras significa que la relación entre el ángulo que separa a Sienna de Alejandría y los 360º de la circunferencia terrestre es igual a la relación que hay entre la distancia que separa a Sienna de Alejandría y la longitud de un meridiano.

Para el cálculo del ángulo, Erastóstenes se sirvió del scaphium o gnomon, un tipo de cuadrante solar rudimentario y la distancia A-S la estimó a partir de datos de las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades. Aunque en este punto surgen diferentes versiones, como que encargó a un agrimensor de su época que midiera en pasos uniformes dicha distancia o que la medición la realizó mediante el conteo de pasos efectuado por un regimiento que recorrió dicha distancia, también cabe la posibilidad que halla obtenido el valor de otros autores en la propia Biblioteca de Alejandría. La distancia fijada fue de 5000 estadios por lo que remplazando en la ecuación superior se obtiene

P = 250.000 estadios

Un elemento importante en esta historia es a qué unidad se refería Erastótenes con el “estadio”, dado que existían varios valores de esta unidad según sea el origen, como era habitual en la antigüedad. Si usó el estadio de 185 m, el valor del diámetro terrestre seria de 46.250Km, si usó el estadio egipcio de 157.2 m (equivalente a 300 codos de 52,4 cm), el perímetro polar calculado seria 39.300Km. Hoy sabemos que el perímetro polar es de 39.939 Km, con lo que en el primero de los casos tendríamos un error de 15,8% y en el segundo un error menor al 2%.

La reconstrucción de la experiencia

Este proyecto está coordinado por el Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires y se encuadra dentro de las actividades por el Año Internacional de la Astronomía en 2009. La organización se encarga de armar «parejas» con los colegios anotados para que hagan las mediciones en conjunto y así puedan obtener el resultado buscado; en el caso del Colegio San José, la institución con la cual compartimos la medición es el Colegio José Martí de Ushuaia, Tierra del Fuego.

Al igual que en el caso de Alejandría y Sienna, se busca que las parejas de colegios estén ubicados en meridianos similares para que el experimento sea lo más exitoso posible. En este aspecto hay que hacer algunas aclaraciones:

1) La ciudad de Sienna se encuentra sobre el trópico de Cáncer en el hemisferio norte y una varilla no proyecta sombra el día del solsticio del 21 de junio.

2) La situación equivalente en el hemisferio sur se producirá sobre el trópico de Capricornio pero en el solsticio del 21 de diciembre.

El trópico de Capricornio pasa por las provincias de Jujuy, Salta y Formosa. A pesar de esto, la experiencia se puede llevar a cabo igualmente y determinar la circunferencia de la Tierra con mediciones que no estén hechas sobre los trópicos (figura 4 y 5). Los participantes conjuntamente deberán determinar el ángulo b en el momento en que el Sol pase por el meridiano del lugar, con este dato y con la distancia norte-sur (Dbu) que separa a Buenos Aires y Ushuaia se puede estimar la circunferencia terrestre (figura 6).

figuras 4, 5 y 6

La medición de los ángulos a1 y a2(figura 6), como hemos dicho, se deben hacer en el momento en que el Sol pase por el meridiano del lugar y eso sucede cuando las sombras proyectadas por los objetos tienen su longitud más corta. Para esto se clava una varilla en forma perpendicular sobre una superficie plana sobre la cual posteriormente se proyectará su sombra y se registran los tiempos y las longitudes a intervalos preestablecidos de entre 1 y 5 minutos comenzando aproximadamente a las 12:30. A medida que transcurre el día el Sol se va elevando en el cielo y desde el hemisferio sur vemos que éste se ubica hacia el norte por lo tanto las sombras que proyecten apuntarán hacia el sur. Cuando el Sol llegue a su punto más alto, las sombras proyectadas serán las más cortas y allí quedará determinado el momento en que el Sol está sobre el meridiano del lugar. Esta medida de la sombra es la que nos permitirá realizar los cálculos (figura 7 y 8)

figura 7 y 8

En las figuras 7 y 8 anteriores se observa que en la posición 4 el Sol pasa por el meridiano del lugar por lo tanto con la longitud de la sombra en este instante Ls y la longitud de la varilla Lv es posible determinar a1 ya sea por trigonometría o trasladando las medidas a un papel y midiendo el ángulo a1 con un transportador. En forma idéntica, el otro colegio determinará a2.

En el Colegio San José se hicieron las mediciones el sábado 21 de junio entre las 12:45 y las 13:10, por suerte muy cerca del mediodía el cielo se despejó y se pudo realizar la experiencia. El valor obtenido de a1 fue de aproximadamente 57º, previamente en el Observatorio San José habíamos verificado algunos datos a través del software Starrynight como el paso del Sol por el meridiano que sería a las 12:55 hora local y que estaría a 33º 13´ sobre el horizonte. Esta información no había sido suministrada a los alumnos participantes pero sirvió para corroborar el trabajo realizado por ellos. Las sombras más cortas fueron detectadas entre las 12:54 y 12:59 y si tenemos en cuenta que los ángulos interiores de un triángulo rectángulo deben sumar 180º entonces para el caso de la figura 8 tenemos que:

a1 + ángulo del Sol sobre el horizonte + 90º = 180º

57º + 33º 13´ + 90º » 180º

vemos que los resultados son bastante buenos teniendo en cuenta los errores que se producen por la forma en que se hicieron las mediciones.

Los cálculos

Los datos aportados por cada colegio son los siguientes:

Colegio San José

Latitud:34º 36′

Longitud: 58º 24´

Distancia al ecuador: 3.847,23 km

Distancia al meridiano de Greenwich: 5.345,18 km

Longitud (Lv) del gnomon o varilla (cm): 23.700 ± 2.000

Longitud (Ls) de la sombra mínima (cm):36.400 ± 2.000

Hora de la medición (HH:mm): 12:54

Angulo a1: 56.93º

Colegio José Martí

Latitud:54º 48′

Longitud: 68º 18´

Distancia al ecuador: 6.093,3 km

Distancia al meridiano de Greenwich: 4.377,83 km

Longitud (Lv) del gnomon o varilla (cm): 22.000 ± 0.000

Longitud (Ls) de la sombra mínima (cm):111.500 ± 0.000

Hora de la medición (HH:mm): 13:30

Angulo a2: 78.83º

Distancia Buenos Aires – Ushuaia (Dbu) = 6.093,3 km – 3.847,23 km = 2.246,07 km

b = a2 – a1 = 21.898º

Según la figura 6, de las mediciones de los ángulos a2 y a1 se debería obtener que la diferencia entre ambos corresponde a la diferencia de latitud entre ambas ciudades como se ve en el resultado teniendo en cuenta los errores propios de los métodos de medición utilizados.

Con esta información podemos calcular el perímetro terrestre con las fórmulas vistas anteriormente:

Perímetro calculado = 360º x Dbu / b

Perímetro calculado = 360º x 2.246,07 km / 21.898º

Perímetro calculado = 36.925,07 km

Radio terrestre calculado = 36.925,07 km / p = 5.876,81 km

Dado que los valores reales son:

Perímetro polar real = 39.939 km

Radio polar real = 6356 km

El error es de un 8.1%

Estos valores fueron obtenidos con una sola medición por colegio; si en cambio, para cada colegio hacemos el promedio de los valores obtenidos por cada grupo de alumnos, los números quedarían de la siguiente manera:

Angulo a1: 57.036º

Angulo a2: 78.71º

b = a2 – a1 = 21.674º

Perímetro calculado = 360º x 2.246,07 km / 21.674º

Perímetro calculado = 37.306,69 km

Radio terrestre calculado = 37.306,69 km / p = 5.937,55 km

El error es de un 7.04%

Consideraciones sobre los cálculos y los métodos empleados

Una primera aclaración que hay que hacer es que al calcular la circunferencia terrestre de la forma en que se hizo, estamos suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta pero la realidad es que existe un achatamiento polar y que no lo estamos teniendo en cuenta. Lógicamente, Eratóstenes no podía conocer este detalle en el siglo III a. C.

Sin embargo, este aspecto no es el único al evaluar los errores sino también hay que considerar aquellos que se introducen al medir la sombra:

1) Las reglas, cintas métricas y escuadras tienen un error de lectura de ± 1 mm.

2) En el extremo de la sombra se crea una zona de penumbra siendo difícil determinar donde termina y poder medir su longitud con precisión. Esto es debido a que el Sol no es un objeto puntual (figura 9)

3) Al principio se pensó en medir cada minuto pero se comprobó que la sombra no se desplazaba mucho en ese lapso y las mediciones quedaban muy encimadas. Es preferible empezar con tiempo y medir cada 5 minutos y elegir una varilla bastante delgada.

4) En el caso de las ciudades que están en latitudes muy elevadas la sombra se hace muy larga y el fenómeno descrito en 2) se acentúa.

figura 9

Conclusiones

El Proyecto Eratóstenes resulta ser una excelente experiencia que nos muestra que con elementos tan simples como papel, lápiz, transportador, escuadra y con un día despejado, podemos ser capaces de medir las dimensiones del planeta donde vivimos con un error más que aceptable. Solo hay un aspecto que no hemos reproducido del trabajo de Eratóstenes: no hemos enviado a nadie caminando hasta Ushuaia para medir la distancia!! Salvo este detalle, podemos decir que no hace falta contar con toda la tecnología de la cual podemos disfrutar en el siglo XXI, como las computadoras, los satélites, el laser, etc, para obtener una idea muy pero muy aproximada del tamaño del mundo, solo hace falta usar nuestro cerebro.

El Observatorio San José agradece a los chicos que se interesaron en participar de esta experiencia:

Federico Binquiman

Jerónimo Collado

Fernando Georgetti

Florencia Greene

María Elena Seelen

Constanza Suárez

a todos ellos FELICITACIONES.